微分法(differential calculus)

導関数(derived function)

いろいろな値における微分係数を集めて,それを関数とみなしたもの

$f(x) = x^2$の導関数は$f(x)^{'}=2x$

微分係数(derivative)

ある値における微分係数

$f(x) = x^2$の$x=2$の時の微分係数は$f(2)^{'}=4$

偏微分 (partial derivative)

関数$f(x,y)$を$x$で偏微分した偏導関数を、次の記号で表す。

$$ \begin{align*} f_x(x,y), \; z_x ,\; \frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \; \frac{\partial z}{\partial x} \end{align*} $$

関数$z=f(x, y)$のxに関する偏導関数$z_x = f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}$がyについて偏微分可能な時、$(f_x)_y = (z_x)_y=\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)$を次のように表す(2次の偏導関数の記号)。

$$ \begin{align*} f_{xy}(x,y) ,\; z_{xy} ,\; \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) ,\; \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \end{align*} $$

また、$f_x$が更に$x$で偏微分可能なとき、$(f_x)x$を次のように表す。

$$ \begin{align*} f_{xx}(x,y) ,\; z_{xx} ,\; \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}(x,y) ,\; \frac{\partial^2 z}{\partial^2 x} \end{align*} $$

全微分(total derivative)

2変数関数 $z=f(x,y)$に対し、各変数方向への偏微分と無限小の積をすべての変数について加えたものを z の全微分という

2変数関数 $z=f(x,y)$ の全微分は

$$ df=\frac{∂f}{∂x}dx+\frac{∂f}{∂y}dy $$

この場合の$\frac{∂f}{∂x},\frac{∂f}{∂y}$の偏微分はそれぞれの傾きを示している。つまり、$dx,dy$はそれぞれの$x$方向、$y$方向の非常に小さい長さを示している。
すなわち、$df$は全体の傾きを示している。

例) $z=x^3y^2$の全微分

$$ \frac{∂z}{∂x}=3x^2y^2,\frac{∂z}{∂y}=2x^3 y \\ \therefore dz=3x^2 y^2 dx +2x^3 ydy $$

微分可能性 (differentiability)

関数$f(x, y)$が点$(a, b)$においてxに関して微分可能であるとは、$y=b$(bは定数)において得られるxの関数$f(x, b)$が$x=a$(aは変数)において微分可能であることである。

ある三次元グラフ

yを定数-4で固定すると、$y=-4$の時のzに関する二次元のグラフの方程式を得る。

yの定数を定数bで一般化すると、任意のzについての二次元のグラフの方程式を得る。

REFERENCES:

  • https://sci-pursuit.com/math/partial-differential.html
  • https://univ-study.net/total-derivative/