積分法 (integral calculus)

積分 (integral )

1次関数$y=f(x)$のある区間$[a,b]$上の面積を求める場合、次のように示す。

$$ \int_a^bf(x)dx $$

重積分 (multiple integral)

2変数関数 $z=f(x,y)$の積分(平面の領域D上の体積)は次のように示す。

$$ \iint_D f(x,y)dxdy $$

なお、積分区間が長方形領域(それぞれの上端,下端が定数)で,被積分関数が一変数関数の積に分解できるとき,以下のように一変数の積分に分解できる。

$$ \displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\int_{x_0}^{x_1}f(x)g(y)dxdy=\displaystyle\int_{x_0}^{x_1}f(x)dx\int_{y_0}^{y_1}g(y)dy $$

逐次積分/累次積分/反復積分 (iterated integral)

繰り返し積分を行う積分

$$ \int( \int f(x,y))dx $$

例)

$\int_0^1(\int_y^1 4xy dx)dy$の積分。

  • まず、$\int_y^1 4xydx$を積分する
  • $\int_y^1 4xydx = [2x^2 y]_y^1 = 2y-2y^3$
  • よって、$\int_0^1 (2y-2y^3)dy = [y^2 – \frac{1}{2} y^4 ]_0^1 =1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

References:

  • http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/bibunkeisuu.html
  • https://univ-study.net/ruiji-sekibun/
  • https://mathtrain.jp/jusekibun