最尤推定量

最尤推定量とは、手元のデータが、どの母パラメータに従う分布から得られる確率が最も高いかに基づいて考えられる推定量

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コインが1枚ある。このコインはどうもイカサマコインらしく、表の出る確率が$1/2$ではないらしい。ここで表の出る確率を調べるために、このコインを10回投げたところ、8回表が出た。さて、このコインの表が出る確率はいくつだろうか?

$8/10$なので、80%と用意に推定できる。

母パラメータはこの場合は真の確率

コインの表が出る真の確率が1/2のとき、10回中8回表が出る確率

$$ {}_{10}C_8(\frac{1}{2})^8(\frac{1}{2})^2 = \frac{ {}_{10} C _8 }{2^{10}} \approx 0.0439=4.39% $$

コインの表が出る真の確率が2/3のとき、10回中8回表が出る確率

$$ {}_{10}C_8(\frac{2}{3})^8(\frac{1}{3})^2\approx 0.195=19.5% $$

コインの表が出る真の確率が3/4のとき、10回中8回表が出る確率

$$ {}_{10}C_8(\frac{3}{4})^8(\frac{1}{4})^2\approx 0.282=28.2% $$

コインの表が出る真の確率が4/5のとき、10回中8回表が出る確率

$$ {}_{10}C_8(\frac{4}{5})^8(\frac{1}{5})^2\approx 0.302=30.2% $$

コインの表が出る真の確率が5/6のとき、10回中8回表が出る確率

$$ {}_{10}C_8(\frac{5}{6})^8(\frac{1}{6})^2\approx 0.291=29.1% $$

上の結果から、「10回中8回表が出る」というデータが得られる確率が最も高くなるのが4/5のときと分かる。

REFERENCES:

  • https://to-kei.net/basic-study/estimator/maximum-likelihood-estimation/