標本平均(sample mean)

ある母集団(正規分布)に従う確率変数がある。
この$X$は標本点である。
理想的には1つの値だが、その変域はばらつきがあり、確率によって決まる。

$$ X \sim N(\mu, \sigma^2) $$

その母集団からランダムサンプリングして、複数の$X$を取得する。
その確率変数を取得した場合、ある標本ができる。
それを$X$とする(便宜上形式的に同じ$X$を使う)。

$$ X = \{X_1, X_2, ... ,X_n\} $$

無論それぞれの標本点($X_i$)は母集団の分布に従う。

$$ X_i \sim N(\mu, \sigma^2) $$

大数の法則により、その標本点は母平均($\mu$)に収束する

$$ E(X_i) \rightarrow \mu $$

その平均(標本平均)は次になる。
無論標本平均も確率変数となる。

$$ \bar{X} = \{X_1, X_2, ... ,X_n\}/n $$

大数の法則により、その標本平均は母平均($\mu$)に収束する

$$ \bar{X} \rightarrow \mu $$

その標本平均の期待値も、母平均になる。

$$ E(\bar{X}) = \mu $$

その標本平均の分散は次になる。

$$ V(\bar{X}) = \sigma^2/n $$

中心極限定理より、標本平均は次の正規分布に従う。

$$ \bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2) $$

この標本平均が従う正規分布を標本分布(or 標本平均の分布)という