ヤコビアン (jacobian)

ヤコビ行列(jacobi matrix)

$\frac{∂y_i}{∂x_j}$を $ij$ 成分とする m×n 行列 J をヤコビ行列と言う。 例えば $i=j=2$のとき,ヤコビ行列は次になる。

$$ J=\begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\frac{\partial y_1}{\partial x_2}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}&\frac{\partial y_2}{\partial x_2}\end{pmatrix} $$

  • 条件はベクトル$\vec{x}$と$\vec{y}$が定まること
  • $y_i$番目は$x_i$番目で偏微分可能

ヤコビアン(jacobian)

ヤコビ行列の行列式をヤコビ行列式,またはヤコビアンと言う。ヤコビアンは変換の「拡大率」を表す重要な量です。

二次元極座標

  • 二次元極座標(r,θ) から直交座標(x,y) への変数変換を考える。
  • 二変数関数二つ組なのでヤコビ行列のサイズは2×2。
  • 変換式は $x=r\cosθ,y=r\sinθ$で、変換式をそれぞれ偏微分するとヤコビ行列が求まる

$$ \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}\\ \frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{pmatrix} $$ $$ =\begin{pmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix} $$

ヤコビアンは、$\cosθ(r\cosθ)−\sinθ(−r\sinθ) = r$

REFERENCES:

  • https://mathtrain.jp/jacobian