ノルム (norm)

長さの概念を一般化したもの

ノルム
ユークリッドノルム(絶対値)$|x|$
ノルム$||x||$

※ 絶対値にスカラを入れたら普通の絶対値、ベクトルを入れたらピタゴラスの定理を用いた、ベクトルの長さ

ノルムとは

$n$次元ベクトル$\vec{x}=(x_1,x_2,⋯,x_n)$ および $1≤p<∞$ なる$p$に対して $\vec{x}$ の $L^p$ ノルムと言い,$||\vec{x}||_p$と書く。

$$ \sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p} = (|\vec{x}|^{p})^{\frac{1}{p}} = ||\vec{x}||_{p} $$

ノルムは2本パイプで囲うので注意

ノルムの呼び名

ノルム
L1(マンハッタン距離)$|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|$
L2(ユークリッド距離距離)$\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$

単位円

二次元ベクトルに対してノルムが1になる時の単位円を図示すると、 $$ ||\overrightarrow{x}||_p=1 $$

軸に張り付いていない場合は、pが大きくなるほど、ノルムが小さくなる

$$ \vec{x} = \{2, 2\} \\ ||\vec{x}||_1 = 2 + 2 = 4 \\ ||\vec{x}||_2 = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \sim 2.828 \\ ||\vec{x}||_3 = {2^3 + 2^3}^{1/3} = {16}^{1/3} \sim 2.519 \\ $$

軸に張り付いている場合は、ノルムは値になる

$$ \vec{x_2} = \{3, 0\} \\ ||\vec{x_2}||_1 = 3 + 0 = 3 \\ ||\vec{x_2}||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \\ ||\vec{x_3}||_2 = (3^3 + 0^3)^{1/3} = 27^{1/3} = 3 \\ $$

ユークリッド距離=原点を平均とする二乗和平方根

$$ ||\vec{x}||_2 = \sqrt{(x_1 - 0)^2+(x_2 - 0)^2+\cdots +(x_n - 0)^2} $$

分散(二乗平均平方根)が平均偏差(絶対偏差)と比べて優れている点は、分散はベクトルの距離を示しているから

References:

  • https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0
  • https://toukeigaku-jouhou.info/2018/10/15/mean-deviation/