フーリエ級数

振幅、周期、周波数、角速度

三角関数意味単位
振幅(amplitude)上下の大きさなし
周期(period;T)一回上下するのに何secかかるか何秒(sec)
周波数(frequency; f)1秒間に何回上下するか何回(Hz)
角速度(angular velocity; $\omega$)1秒間に何度の角度が進むか何度(°/sec)

フーリエ級数数式

変数αで振幅の増減が可能

$$ f(\theta) = \alpha sin \theta $$

周期Tは周波数の逆数

$$ T=1/f $$

周波数fは周期Tの逆数

$$ f=1/T $$

角速度$\omega$は

$$ \omega = 360 \times f \\ \omega = 360 \times \frac{1}{T} \\ $$

$\theta$を時間tに変え、$\theta$を$n\omega t$に置き換えると、
つまり、ある定数n x 角速度 x 時間=1sあたりの距離を示している
速度x時間=距離ということ

$$ f(t) = \alpha sin(n \omega t) $$

波を複数組み合わせて表現するので、αは

$$ f(t) = \sum_{i=0}^\infty \alpha_i sin(n \omega t) $$

sin波では$t$が0と1の時に0になるので、係数αを加えても変えられない
そこでその逆の0と1の時に1になるcos波も加えて表現すると、

$$ f(t) = \sum_{i=0}^\infty \alpha_i cos(n \omega t) + \sum_{i=0}^\infty \beta_i sin(n \omega t) $$

さらにそこに、定数項を追加すると、フーリエ級数式となる。

$$ f(t) = \alpha_0 + \sum_{i=0}^\infty \alpha_i cos(n \omega t) + \sum_{i=0}^\infty \beta_i sin(n \omega t) \\ f(t) = \alpha_0 + \sum_{i=0}^\infty (\alpha_i cos(n \omega t) + \beta_i sin(n \omega t)) $$

ωは$360 \times \frac{1}{T}$だが、この360度をラジアンにすると、

$$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$

なので、これを適用すると、

$$ f(t) = \alpha_0 + \sum_{i=0}^\infty (\alpha_i cos(\frac{2\pi n}{T} t) + \beta_i sin(\frac{2\pi n}{T} t)) $$