複素数 (Complex number)

実数(Real number)と虚数(Imaginary number)の線型結合の形に表される数

例)

$$ \dot{Z} = Z = 1 + 3i $$

実部 (Real part)

実部の数字

$$ \dot{Z} = 1 + 3i \\ \Re(Z) = \operatorname{Re}(Z) = 1 $$

虚部 (Imaginary part)

複素数のiを覗いた数字

$$ \dot{Z} = 1 + 3i \\ \Im(Z) = \operatorname{Im}(Z) = 3 $$

複素平面/ガウス平面 (Complex plane/Gaussian plane)

X軸が実数、Y軸が虚数の平面

複素平面の考え方

  • 実数軸を180度回転すると、マイナスの数になる
  • 1の点を180度回転すると、-1の点になる
  • 他方、複素平面では1を90度回転すると、iになる

複素数の大きさ (absolute value)

デカルト平面と同じ、原点からの距離

$$ \sqrt{\Re(z)^2 + Im(z)^2} $$

偏角 (argument)

複素平面の水平方向とのなす角。 分子は虚部、分母は実部で計算する

$$ \angle \dot{Z} = tan^{-1} ( \frac{\operatorname{Im}(\dot{Z})}{\operatorname{Re}(\dot{Z})} ) $$

例)

$$ \dot{Z} = 1 + 3i \\ $$

実部と虚部は次のようになる

$$ \operatorname{Re}(z) = 1 \\ \operatorname{Im}(z) = 3 $$

角度を計算すると、

$$ \angle \dot{Z} = tan^{-1} ( \frac{3}{1} ) \sim 73 $$

複素共役 (Conjugate complex numbers)

  • 虚部の符号を逆転させた複素数
  • 複素数の頭にバーをつけて表現する

$$ \dot{Z} = 1 + 3i \\ $$

の場合は、

$$ \bar{\dot{Z}} = 1 - 3i $$

複素共役の性質

任意の複素数 $z=a+bi$ に対して,$z\bar{z}$ は非負実数となる

REFERENCES:

  • https://texblog.org/2013/11/27/complex-number-symbols-in-latex/
  • https://mathtrain.jp/kyoyaku