ベータ分布(beta distribution)

ベータ分布 (beta distribution) は連続確率分布のひとつである.順序統計量との関わりが深い.順序統計量とは,ランダムな標本値を昇順に並べ替えたときの一連の標本値の集合のことである.ここで,ベータ分布とは,互いに独立に同一の連続一様分布 U(0, 1) に従う α+β-1 個の確率変数Xi (1< i < α+β-1) において α 番目に小さい確率変数Xα (α番目の順序統計量) が従う確率分布である.

母数

  • α: (>0)
  • b: (>0)

確率密度関数

$$ \begin{eqnarray*}f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1$bb}}{B(\alpha,\beta)}\end{eqnarray*} $$

略記

$$ X \sim Be(α, β) $$

モーメント母関数

$$ \begin{eqnarray*}E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{eqnarray*} $$

期待値

$$ \begin{eqnarray*}E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{eqnarray*} $$

分散

$$ \begin{eqnarray*}V(X)=\frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\end{eqnarray*} $$

ベータ関数

$$ \begin{eqnarray*}B(a,b)=\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt\end{eqnarray*} $$

REFERENCES:

  • https://data-science.gr.jp/theory/tpd_beta_distribution.html
  • https://data-science.gr.jp/theory/tbs_beta_and_gamma_function.html