チェビシェフの不等式

  • 確率変数Xの平均$\mu$、標準偏差$\sigma$がともに有限なら、任意のk(>0)に対して次の式が成り立つ(どんな確率分布でも)。

$$ P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} $$

  • 絶対値を含む不等式なので、場合分けすると、
  • これは即ち次の2つと同じ

$$ P(X\geq \mu+k\sigma)\leq\frac{1}{k^2} ~~~ (X\geq\mu) $$

$$ P(X\leq \mu-k\sigma)\leq\frac{1}{k^2} ~~~ (X<\mu) $$

その例

  • 平均0から、2($=k$)標準偏差以上離れたいかなる値Xは全体の1/4を越えることは無い

$$ x = \{1, -1\} \\ \mu = 0 \\ \sigma = 1\\ k = 2\\ P(X\geq \mu+k\sigma)\leq\frac{1}{k^2} \\ = P(X\geq 2)\leq \frac{1}{4} \\ $$

references:

  • https://www.slideshare.net/hoxo_m/ss-35863564
  • https://data-science.gr.jp/theory/tbs_chebyshev_inequality.html