母関数(generating function)

母関数とは数列に関する情報を全て含んだ関数です。つまり,数列の一般項が分かれば母関数を構成することができますし,母関数が分かればその数列の一般項を求めることもできます。母関数と数列は一対一に対応しているのです。数列を生み出す関数という意味で「母関数」と呼ばれます。

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^4 + \cdots $$

https://mathtrain.jp/bokansu

等差数列の一般項の例

  • 数列 1, 2 ,3 の一般項は $a_n = n$
  • つまり、$a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3=3$

級数(series)と数列(numerical sequence)の違い

  • 数列: $1, 2, 3, 4...n$
    • 数が列になったもの
  • 級数: $S_N := a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_N = \sum_{n=0}^N a_n$
    • 数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和

確率母関数(probability generating function)

  • 離散確率変数 $X∈{0,1,2,…}$ の確率質量関数が $Pr[X=j]=p_j$ のとき,$|t|≤1$ を満たす実数 $t$ に対して,確率母関数は次
  • 要は変数tを引数に、べき級数(power series)を作りたい、そしてそのべき級数から代表値を求めたい
  • ちなみに、tの意味はない

$$ G_X(t)=\mathrm{E}[t^X]=\sum_{j=0}^\infty p_j t^j $$

tで微分した$G_X^{'}$に1を代入すると期待値になる

$$ G_X^{'}(1) = E(X) $$

references

  • http://ibisforest.org/index.php?%E7%A2%BA%E7%8E%87%E6%AF%8D%E9%96%A2%E6%95%B0
  • https://stats.stackexchange.com/questions/186889/what-is-t-in-generating-functions
  • https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%9A%E6%95%B0