モーメント(積率)

意味

  • 確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値
  • 積率とも

$$ \sum_{i=0}^{n} X_i^rP(X=X_i) $$

統計学におけるモーメントは物理学におけるモーメントの類推である.物理学におけるモーメントが長さと力の積であるのに対し,統計学のモーメントは標本と確率の積で与えられる.

https://data-science.gr.jp/theory/tbs_moment.html

原点のまわりのr次のモーメント

$$ \mu_r = E(X^r) $$

期待値(平均)のまわりのr次のモーメント

  • 平均周りの場合はピリオドがつく

$$ \mu_r^{'} = E\{(X-\mu)\}^r $$

標準化モーメント

  • 中身は標準化数量Zになっている

$$ \alpha_r = E\{(X-\mu)/\sigma\}^r $$

平均と分散

  • また、期待値と分散はモーメントの基礎的なもの

$$ \mu_1 = E(X) \\ \mu_2^{'} = V(X) \\ $$

モーメント母関数/積率母関数(moment generating function)

目的はモーメントをまとめてあつかうため

$$ M_X(t) = E(e^{tX}) $$

離散型

$$ M_X(t) = \sum_{x}e^{tx}f(x) $$

連続型

$$ M_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x) \space dx $$

モーメント母関数から期待値

$$ M_X(t)=E[e^{tX}] $$

上式をマクローリン展開すると、

$$ =E\left[1+tX+\dfrac{t^2}{2}X^2+\dfrac{t^3}{3!}X^3+\cdots\right] $$

ここで,期待値の線形性を使うと上式は次になる。

$$ =1+E[X]t+\dfrac{E[X^2]}{2!}t^2+\dfrac{E[X^3]}{3!}t^3+\cdots $$

これをtについて一回微分すると、

$$ M_X^{'}(t)= E[X]+2\dfrac{E[X^2]}{2!}t+3\dfrac{E[X^3]}{3!}t^2+\cdots $$

1回微分にt=0を代入すると期待値になる。

$$ M_X^{'}(0)= E(X) = \mu_1 $$

2回微分にt=0を代入すると$X^2$の期待値になる。

$$ M_X^{''}(0)= E(X^2) = \mu_2 $$

REFERENCES:

  • http://www.data-arts.jp/course/probability/characteristic_values/moment.html
  • https://mathtrain.jp/momentgf