集合の関係

$\Omega$を全集合とし、A, Bを部分集合とする($A, B \subset \Omega$)

演算
全事象/全集合(whole events)$\Omega$
和事象/和集合/茶碗(union/sum of events)$A \cup B$
積事象/積集合/帽子(intersection/product of events)$A \cap B $
余事象/余集合(complementary event)$A^c$ or $A'$
排反事象(disjoint events/Exclusive event)$A \cap B = \phi$

積集合と差集合の比較

$$ A \times B = A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ and } x\in B\} \\ A - B = A\setminus B=\{x\mid x\in A\text{ and } x\notin B\} $$

和と積の法則

法則
和の法則(加法定理)$P(A) + P(B) = P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
積の法則(乗法定理)$P(A_1) \times P(A_2) = P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) = P(A_2) \cdot P(A_1|A_2)$

NOTE:

  • 1回目の試行で起こった事象を$A_1$とし、2回目の試行で起こった事象を$A_2$とする
  • また、$P_{A_1}$は$A_1$が起こった条件での$P(A_2)$が起こる確率を示す

試行と事象

現象
試行(trial)サイコロを投げる
事象(event)4の目が出る

排反事象と独立試行

用語意味影響する演算
排反事象事象AとBが同時に起こらない事象の和の演算(1)
独立試行前に行った試行($T_1)$の結果が次の試行($T_2$)に全く影響を与えないこと事象の積の演算(2)
  • (1): $A \cap B$を加味する必要がなくなるから
  • (2): $T_2$での確率を加味する必要がなくなるから

用語

  • ベン図
  • ド・モルガンの法則

REFERENCES:

  • https://toukeigaku-jouhou.info/2015/08/23/post-297/
  • http://www.cottonpot01.com/JpnEng/JpnEngSta120160825.pdf
  • https://excelmath.atelierkobato.com/probability-basic/
  • https://math.stackexchange.com/questions/165328/what-is-the-difference-between-the-symbols-cap-and-setminus
  • https://integraldx.info/independent-disjoint-712
  • http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kakuritu/kakuritu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kakuritu/kakuritu/kakuritu-no-seki-no-housoku.html
  • http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kakuritu/kakuritu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kakuritu/kakuritu/kakuritu-no-seki-no-housoku.html