順列と組み合わせ

パターン
組み合わせ (combination)$$_n \rm C _r = \frac{_n \rm P _r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$異なるn個のモノからr個選んで一列に並べる「並べ方」
重複組み合わせ (repeated combination)$$_n \rm H _r = _{n+r-1}C_r $$重複ありの並べ方
順列 (permutation)$$_n \rm P _r = \frac{n!}{(n-r)!}$$異なるn個のものからr個選ぶ「選び方」
重複順列 (repeated permutation)$$_n \Pi _r = n^r$$重複ありの選び方

組み分け(grouping)の全パータン

組み分け問題とはヒトやモノを複数グループに振り分けていく問題

  • A: 分けられるものの区別がつくか
  • B: 分けるグループの個数が決まっているか
  • C: 分けるグループの区別ができるか
ABCパターン
YesYesYes組み合わせ$${}_n \rm C _r$$
YesYesNo組み合わせ / 重複度$${}_n \rm{C} _r \div p!$$
YesNoYes重複順列$${}_n \Pi _r$$
YesNoNo重複順列 / 重複度$${}_n \Pi _r \div p!$$
NoNoYes重複組み合わせ$${}_n \rm H _r $$
NoNoNo全て書き出すのみ$$None$$

スターリングの近似(Stirling's approximation)

$$ n!\simeq\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n $$

REFERENCES:

  • https://examist.jp/mathematics/baainokazu/kumiwake/
  • https://www.studyplus.jp/371
  • https://mathtrain.jp/stirling